- Что такое корреляция?
- Зависимость корреляции от времени
- Как именно влияет ковариация на дисперсию доходности портфеля?
- Как использовать коэффициент корреляции активов
- Как можно использовать это определение на практике?
- Как оценивать ковариацию и корреляцию доходности?
- Как рассчитать корреляцию
- Какие связи анализируют инвесторы
- Корреляция на фондовом рынке
- Определение ковариации.
- Определение корреляции.
- Определение независимости для случайных величин.
- Правило умножения для ожидаемого значения произведения некоррелированных случайных величин.
- Пример (12) расчета ожидаемой доходности и дисперсии доходности портфеля.
- Расчет ожидаемой доходности портфеля.
- Свойства корреляции.
- Свойства ожидаемого значения.
- Стратегия распределения активов (asset allocation) — часть 2
- Чтение коэффициентов корреляции
Что такое корреляция?
Начнем с такого примера. Вы наполняете свой инвестиционный портфель различными инструментами (акциями, облигациями, чем-то еще), но неожиданно замечаете, что в процессе инвестирования все результаты движутся преимущественно в одну сторону. Т.е. вы получаете либо заметную доходность, либо существенный убыток.
Если первая ситуация нас радует, то вторая сильно печалит и мы начинаем задумываться, все ли сделали правильно. И хотя убытки, даже порой затяжные, это неизбежная ситуация реального инвестирования, при составлении нашего портфеля действительно была допущена ошибка, исправление которой поможет заметно улучшить суммарную доходность.
Корреляция описывается числом в интервале от 1 до -1. Единица со знаком плюс означает абсолютно идентичное движение активов (к такой ситуации, например, близки котировки USD/RUB и EUR/RUB), и в этом случае говорят о полной или максимальной положительной корреляции.
Минус один описывает полностью противоположенное поведение, когда рост одного актива всегда вызывает убыток другого — это максимально отрицательная корреляция. Оба варианта скорее идеальные случаи, так что отрицательной корреляцией считается любое негативное значение.
Значение около нуля говорит об отсутствии зависимости между котировками. Т.е. в общем корреляция рассчитывается на основании эмпирических данных — подобная функция есть в Экселе — и поэтому зависит от интервала рассмотрения активов. Корреляция финансовых инструментов имеется как на форекс, так и на фондовом рынке — рассмотрим их отдельно.
Зависимость корреляции от времени
Как уже упоминалось выше, корреляция не является константой и сама меняется в зависимости от времени. К примеру, корреляция между акциями США и пятилетними гос. облигациями с 1926 по 2022 годы была равна 0.07 — т.е. зависимость почти не прослеживалась.
Однако на истории корреляция колебалась от -0,5 до 0,5, причем в XX веке после Великой Депрессии она находилась в отрицательной зоне лишь с середины 50-х по середину 60-х годов. В период с 1970-1985 корреляция акций и облигаций была равна 0.3%, тогда как с 2002-2022 обратной по знаку:
Таким образом, задача поиска доходности зависит от двух неизвестных: корреляции и доходности активов на рассматриваемом промежутке, причем эта доходность достигается с различным риском (отклонением от среднего значения). Отрицательная корреляция в общем случае позволяет достигать большей доходности с меньшим риском по сравнению с менее доходным активом:
Фонд А — менее волатильный и менее доходный актив (облигации), фонд Б — более волатильный и доходный (акции). Стандартное отклонение определяет размах колебаний относительно среднего значения актива. Такое соотношение, как на рисунке выше, наблюдается на длинной истории — однако в пределах десятилетий может довольно сильно меняться:
Видно, что на протяжении 2000-2009 годов американские акции даже ушли в минус, в результате чего кривая получила движение вниз, а не вверх. Следовательно, корреляция ничего не говорит об абсолютной доходности — первая может мало меняться на протяжении 20 лет, однако результаты одинаковых портфелей на следующих друг за другом 10-летних промежутках разойдутся.
Так, в кризисные 70-е и растущие 80-е корреляция американских акций и 5-летних облигаций была в среднем одинакова (около 0.25), однако доходность портфеля 50 на 50 во втором случае была 15% годовых, а в первом лишь около 7%. Ниже отдельно показаны наилучшее и наихудшее американское десятилетие с 1950 года:
Как видим, отрицательная корреляция с 2000 года явилась причиной заметного выгиба кривой влево, в результате чего 5% доходности могли быть достигнуты с очень низким риском. Несомненно важным для инвестора является и корреляция других активов — в первую очередь американского и европейского рынков, стран Азии и пр.
Как именно влияет ковариация на дисперсию доходности портфеля?
Члены ковариации показывают, как совместное движение доходности отдельных активов влияет на дисперсию всего портфеля.
Например, рассмотрим две акции: одна имеет тенденцию к высокой доходности (относительно ее ожидаемой доходности), а другая имеет низкую доходность (относительно ее ожидаемой доходности).
Доходность одной акции имеет тенденцию компенсировать доходность другой акции, снижая изменчивость или дисперсию доходности портфеля.
Как и дисперсию, значения ковариации трудно интерпретировать, и мы вскоре представим более интуитивно понятную концепцию. Между тем, из определения ковариации мы можем установить два существенных примечания о ковариации.
Как использовать коэффициент корреляции активов
Согласно современной портфельной теории, инвестору следует выбирать такие активы для своего портфеля, которые с меньшей вероятностью потеряют ценность одновременно. Другими словами, портфель должен состоять из слабо коррелирующих активов. Активы с сильной корреляцией же напротив, стоит исключать из портфеля. Таким образом, портфель будет более устойчив при различных макроэкономических обстоятельствах.
Как можно использовать это определение на практике?
В чтении о статистических концепциях и рыночной доходности мы узнали, как рассчитать историческую или выборочную дисперсию на основе выборки ставок доходности.
Теперь мы рассматриваем дисперсию в прогностическом смысле. Мы будем использовать информацию об отдельных активах в портфеле, чтобы получить доходность всего портфеля.
Чтобы избежать беспорядка в обозначениях, мы пишем ( ER_p ) вместо (E(R_p)). Нам нужна концепция ковариации.
Как оценивать ковариацию и корреляцию доходности?
Часто мы делаем прогнозы на основе исторической ковариации или используем другие методы, основанные на исторических данных о доходности, такие как регрессионная модель рынка.
Мы также можем рассчитать ковариацию, используя функцию совместной вероятности случайных величин, если ее можно оценить.
Функция совместной вероятности (англ. ‘joint probability function’) двух случайных величин (X) и (Y), обозначенная как (P(X, Y)), дает вероятность совместного появления значений (X) и (Y). Например, (P(3,2)) — это вероятность того, что (X) равен 3 и (Y) равен 2.
Предположим, что функция совместной вероятности доходности акций BankCorp(RA) и доходностей акций NewBank(RB) имеет простую структуру, приведенную в Таблице 12.
Ожидаемая доходность акций BankCorp составляет:
0.20(25%) 0.50(12%) 0.30(10%) = 14%
Ожидаемая доходность акций NewBank составляет:
0.20(20%) 0.50(16%) 0.30(10%) = 15%
Функция совместной вероятности, приведенная выше, может отражать анализ, основанный на том, является ли состояние банковской отрасли хорошим, средним или плохим.
В Таблице 13 представлен расчет ковариации.
Примечание. Ожидаемая доходность для BankCorp составляет 14%, а для NewBank — 15%.
Первый и второй столбцы чисел показывают, соответственно, отклонения доходности BankCorp и NewBank от их среднего или ожидаемого значения.
В следующем столбце показано произведение отклонений. Например, для хорошего состояния отрасли (25–14)(20–15) = 11(5) = 55.
Затем 55 умножается на 0.20 или взвешивается на вероятность того, что условия банковской отрасли являются хорошими: 55(0.20) = 11.
Расчеты для средних и плохих банковских условий выполняются по той же схеме. Суммируя эти взвешенные по вероятности произведения, получим, что (Cov(R_A,R_B) ) = 16.
Как рассчитать корреляцию
В интернете есть платные сайты, с помощью которых можно получить уровень корреляции между акциями фондовых бирж США и валютой. Однако если вы хотите посчитать, насколько коррелируют российские акции, результаты торговли ПАММ-счетов или инвестиционных фондов, то следует научиться делать расчёты самостоятельно, тем более что это не составляет труда.
Всё, что вам понадобится – Excel. Вставьте в один столбик цены на одну акцию, в другой – на вторую. После этого зайдите в формулы и выберете функцию «Коррел». Осталось только выбрать оба массива данных, и вы увидите степень корреляции. Сохраните страницу как шаблон и просто подставляйте в столбики новые данные.
При определении взаимосвязи между фондами и управляющими, используйте коэффициенты. Взяв за базу значения начального периода, впишите в таблицу все результаты торговли. Например, за первую неделю один управляющий увеличил капитал на 10%, второй – 5%, после второй недели размер счёта составлял уже 115% у первого и 112% — у второго.
Запишите в таблицу такие результаты: у первого 100, 110, 115 и т.д., у второго – 100, 105, 112 и т.д. На первый взгляд это может показаться нелогичным способом, однако он примерно покажет, насколько схожи стратегии управляющих и поможет избежать ситуации, когда одновременно у нескольких управляющих фиксируются убытки, которые приносят «минусы» всему портфелю.
Какие связи анализируют инвесторы
Самый глобальный анализ — географический, т.е. оценка корреляции ведущих индексов развитых стран. Так, коэффициент российского и американского рынков – 0.6-0.7. Немецкого и американского – 0.8-0.9. Китайские компании вообще «живут своей жизнью» и показывают слабую связь даже с другими азиатскими рынками.
Также часто измеряют степень корреляции нескольких отраслей экономики. Проще всего замерить её на американской бирже S&P 500. На ней строятся уже готовые отраслевые графики и скопировать их так же просто, как и котировки отдельных акций. Для широкой диверсификации стоит узнать и корреляцию между акциями или валютной парой и основными товарами: золотом, нефтью, серебром. Так, золото многие годы движется обратно пропорционально доллару США.
Частный случай оценки взаимосвязи – анализ отдельных акций. Разумеется, тесную корреляцию показывают бумаги одного сектора экономики, инструменты разных отраслей иногда вообще не коррелируют.
Корреляция на фондовом рынке
Переходя к фондовому рынку, в первую очередь необходимо обратить внимание на несравненно большее число инструментов, поскольку в принципе каждую акцию (и облигацию) можно рассматривать как отдельный актив. Таблица корреляции каждой акции друг к другу только на американском рынке привела бы к совершенно астрономическим цифрам — слава богу, в распоряжении инвестора есть такой инструмент как ETF, который помогает вложиться в произвольный индекс, отражающий экономику целого государства или даже региона, например Европы.
ETF позволяет широко диверсифицировать капитал — например, биржевой фонд с тикером SPY включает в себя 500 акций компаний США. Но не менее важным является то, что имея простой инструмент для вложения мы можем сравнить индексы различных стран друг с другом (пример — американский S&
Ложка (и немалая) дегтя в том, что и на фондовом рынке коэффициенты корреляции финансовых инструментов не отличаются постоянством. Однако, в отличие от валютных пар, эти изменения обычно происходят медленнее и находятся в менее широком диапазоне (как будет показано ниже, историческая корреляция американских акций и облигаций с 1930 года описывалась интервалом от 0.5 до -0.5). Рассмотрим корреляцию российских и зарубежных активов (расчеты Сергея Наумова):
Здесь приведена корреляция российских и зарубежных активов на периоде в 17 лет до 2022 года. Из нее видно, что например российские акции и облигации имеют высокую корреляцию друг с другом (их котировки движутся как правило в одном направлении), тогда как золото и зарубежные облигации имели к российским акциям скорее противоположенное движение, т.е. отрицательную корреляцию.
Следовательно, разбавляя американские активы российскими с включением доли золота, можно было бы на первый взгляд добиться сглаживания доходности — однако на практике мы получили бы не просто более ровную кривую, а заметный дополнительный бонус. Посмотрим на таблицу ниже:
Так называемый «портфель лежебоки» — это портфель, включающий равные доли российских акций, облигаций и золота. При этом сравнивая доходность всех четырех портфелей можно увидеть, что она оказалась заметно выше, чем просто арифметическое среднее активов по отдельности! Как такое возможно?
Объяснение этому было дано еще в начале 50-х годов Г. Марковицем, который 30 лет спустя получил за свою теорию Нобелевскую премию — а сама теория стала основой портфельного инвестирования, наряду с понятием о корреляции активов. Согласитесь, что получать в течение 17 лет доходность на уровне 35% в год не позволяет ни один банк — такие предложения делаются лишь откровенными пирамидами.
Как видно, здесь доходность портфелей представляет уже скорее среднее значение, хотя и лежащее гораздо ближе к верхней границе, чем к нижней; причем риски в этом случае оказываются ниже, чем в прошлой таблице. Откуда такие расхождения? В плане доходности стоит вспомнить огромный рывок российского рынка в 1999 году, когда паи облигаций выросли на невероятные 1800% — и вплоть до 2008 года российский рынок почти непрерывно рос, давая по несколько десятков процентов годовых.
Основной пик пришелся именно на 1999-2000 год. Однако после кризиса 2008 года последовала почти обратная ситуация — несколько восстановившись в 2009 году, в следующие годы даже рублевый индекс ММВБ не сумел достичь своего максимума, а номинированный в долларах РТС и вовсе после декабря 2022 отправился почти к уровню просадки 2008 года.
И это является важным фактором, который необходимо учесть — только нулевая или отрицательная корреляция не обеспечит кумулятивный эффект, если хотя бы один из активов будет показывать стагнацию или тем более негативную доходность. Идея именно в том, что в целом доходны оба актива, но проявляется это в разные периоды времени.
Следовательно, нужно не только учитывать корреляцию, но и в идеальном случае представлять экономические возможности своих активов. При этом на американском рынке аналогичный портфель за почти 50 лет показал те же результаты, что и акции, однако с заметно меньшим риском:
Если же рассмотреть те же данные с 1925 года, то картина немного изменится: хотя доходность по акциям останется почти на том же уровне (9%, т.е. только на 10% меньше), но золото даст результат, близкий к 5% (что меньше почти на 40%). Соответственно, пострадает и портфельный результат: американский «лежебока» с 1925 года даст доходность лишь немногим более 7%, уже заметнее уступая акциям.
Определение ковариации.
Для двух случайных величин (R_i) и (R_j) ковариация между (R_i) и (R_j) равна
( largenewcommand{Cov}{operatorname{Cov}}Cov bigl(R_i, R_jbigr) = E big[(R_i — ER_i) (R_j — ER_j)big] )(Формула 14)
Альтернативными обозначениями являются (sigma(R_i,R_j)) и (sigma_{ij}).
Формула 14 утверждает, что ковариация (англ. ‘covariance’) между двумя случайными переменными является средневзвешенной вероятностью для перекрестных произведений отклонения каждой случайной переменной от ее собственного ожидаемого значения.
Используя определением дисперсии, мы находим:
( small begin{aligned}sigma^2(R_p) &= E Big[(R_p — ER_p)^2Big] \&= E Big{ big[w_1R_1 w_2R_2 w_3R_3 — E(w_1R_1 w_2R_2 w_3R_3) big]^2 Big} \&= E Big{ big[w_1R_1 w_2R_2 w_3R_3 — w_1ER_1 — w_2ER_2 — w_3ER_3 big]^2 Big} \& text{(используя Формулу 13)} \ \
&= E Big{ big[w_1(R_1 — ER_1) w_2(R_2 — ER_2) w_3(R_3 — ER_3) big]^2 Big} \& text{(преобразование)} \ \
&= E Big{ big[w_1(R_1 — ER_1) w_2(R_2 — ER_2) w_3(R_3 — ER_3) big] \× big[w_1(R_1 — ER_1) w_2(R_2 — ER_2) w_3(R_3 — ER_3) big] Big} \& text{(что значит квадрат)} \ \
&= E big[w_1w_1(R_1 — ER_1)(R_1 — ER_1) w_1w_2(R_1 — ER_1)(R_2 — ER_2) \& w_1w_3(R_1 — ER_1)(R_3 — ER_3) w_2w_1(R_2 — ER_2)(R_1 — ER_1) \& w_2w_2(R_2 — ER_2)(R_2 — ER_2) w_2w_3(R_2 — ER_2)(R_3 — ER_3) \& w_3w_1(R_3 — ER_3)(R_1 — ER_1)
&= w^1_2E big[(R_1 — ER_1)^2 big] w_1w_2E big[(R_1 — ER_1) (R_2 — ER_2) big] \& w_1w_3E big[(R_1 — ER_1) (R_3 — ER_3) big] w_2w_1E big[(R_2 — ER_2) (R_1 — ER_1) big] \& w^2_2E big[(R_2 — ER_2)^2 big] w_2w_3E big[(R_2 — ER_2) (R_3 — ER_3) big] \&
Итоговая формула следует из определений дисперсии и ковариации.
Определение корреляции.
Корреляция (англ. ‘correlation’) между двумя случайными величинами, (R_i) и (R_j), определяется как:
( large dstrho(R_i,R_j) = {Cov(R_i, R_j) over sigma(R_i)sigma(R_j)} )
Альтернативными обозначениями корреляции являются (mathrm{Corr}(R_i,R_j) ) и ( rho_{ij}).
Ковариация часто представляется с использованием выражения:
( large Cov(R_i, R_j) = rho(R_i,R_j) sigma(R_i)sigma(R_j) )
Деление, указанное в определении, делает корреляцию чистым числом (т.е. без единицы измерения) и устанавливает границы для ее наибольшего и наименьшего возможных значений.
Используя приведенное выше определение, мы можем сформулировать корреляционную матрицу только на основе данных из ковариационной матрицы. В Таблице 9 показана матрица корреляции.
Например, ковариация между долгосрочными облигациями и MSCI EAFE составляет 38, как указано в Таблице 8. Стандартное отклонение доходности долгосрочных облигаций составляет 811/2 = 9%, а доходности MSCI EAFE — 4411/2 = 21% (см. диагональные члены в Таблице 8).
Корреляция (rho)(Доходность долгосрочных облигаций, Доходность EAFE) составляет 38 / (9%) (21%) = 0.201, округленное до 0.20.
Корреляция доходности S&P 500 с самой собой равно 1: расчет представляет собой собственную ковариацию, деленную на квадрат стандартного отклонения.
Определение независимости для случайных величин.
Две случайные величины (X) и (Y) независимы тогда и только тогда, когда:
( P(X,Y) = P(X)P(Y) )
Например, учитывая независимость:
(P(3,2) = P(3)P(2))
Мы умножаем отдельные вероятности, чтобы получить совместные вероятности. Независимость является более сильным свойством, чем некоррелированность, потому что корреляция касается только линейных зависимостей.
Следующее правило распространяется на независимые случайные величины и, следовательно, также на некоррелированные случайные величины.
Правило умножения для ожидаемого значения произведения некоррелированных случайных величин.
Ожидаемое значение произведения некоррелированных случайных величин является произведением их ожидаемых значений.
( large E(XY) = E(X) E(Y) )
если (X) и (Y) не коррелированны.
Многие финансовые переменные, такие как выручка (цена, умноженная на количество), являются произведением случайных величин. Когда это применимо, приведенное выше правило упрощает расчет ожидаемого значения произведения случайных величин.
В противном случае расчет зависит от условного ожидаемого значения; расчет может быть выражен как:
( E(XY) = E (X) E(Y|X) )
Пример (12) расчета ожидаемой доходности и дисперсии доходности портфеля.
У вас есть портфель из двух взаимных инвестиционных фондов, A и B. 75% портфеля вложено в A, как показано в Таблице 10.
- Рассчитайте ожидаемую доходность портфеля.
- Рассчитайте матрицу корреляции для этой задачи. Рассчитайте значения матрицы до двух десятичных знаков.
- Рассчитайте стандартное отклонение доходности портфеля.
Расчет ожидаемой доходности портфеля.
Для портфеля с n ценными бумагами ожидаемая доходность портфеля представляет собой средневзвешенную ожидаемую доходность по включенным в него ценным бумагам:
( large begin{aligned}E(R_p) &= E(w_1R_1 w_2R_2 ldots w_nR_n) \&= w_1E(R_1) w_2E(R_2) ldots w_nE (R_n)end{aligned} )
Предположим, мы оценили ожидаемую доходность активов в портфеле, как показано в Таблице 6.
Мы рассчитываем ожидаемую доходность портфеля как 11.75%:
( begin{aligned}E(R_p) &= w_1E(R_1) w_2E(R_2) w_3E (R_3) \&= 0.50(13%) 0.25(6%) 0.25(15%) = 11.75%end{aligned} )
В предыдущем разделе мы изучали дисперсию как меру рассеивания результатов вокруг ожидаемого значения. Здесь нас интересует дисперсия доходности портфеля как мера инвестиционного риска.
Если ( R_p ) обозначает доходность портфеля, то дисперсия доходности портфеля составляет ( sigma^2(R_p) = E Big{ big[R_p — E(R_p)big]^2 Big} ) в соответствии с Формулой 8.
Свойства корреляции.
1.
Корреляция — это число от -1 до 1 для двух случайных величин, (X) и (Y):
( -1 leq rho(X,Y) leq 1 )
2. Корреляция 0 (некоррелированные переменные) указывает на отсутствие какой-либо линейной (прямой) взаимосвязи между переменными.
Если корреляция равна 0, (R_1 = a bR_2) ошибка, при (b = 0).
- Растущая положительная корреляция указывает на все более сильную положительную линейную зависимость (до 1, что указывает на идеальную линейную зависимость).
- Растущая отрицательная корреляция указывает на все более сильную отрицательную (обратную) линейную зависимость (до -1, что указывает на идеальную обратную линейную зависимость).
- Если корреляция положительна, (R_1 = a bR_2) ошибка, при b > 0. Если корреляция отрицательна, b < 0.
Свойства ожидаемого значения.
Пусть ( w_i ) — любая постоянная величина (константа), а ( R_i ) — случайная величина.
1. Ожидаемое значение постоянной величины, умноженной на случайную величину, равно постоянной, умноженной на ожидаемое значение случайной величины.
( large E(w_iR_i) = w_i(R_i) )
2. Ожидаемое значение взвешенной суммы случайных величин равно взвешенной сумме ожидаемых значений с использованием тех же весов.
( large begin{aligned}& E (w_1R_1 w_2R_2 ldots w_nR_n) \& w_1E (R_1) w_2E(R_2) … w_nE(R_n)end{aligned} )(Формула 13)
Предположим, у нас есть случайная величина с заданным ожидаемым значением. Например, если мы умножим каждый результат на 2, ожидаемое значение случайной величины умножится также на 2. В этом смысл части 1.
Второе утверждение — это правило, которое напрямую приводит к выражению ожидаемой доходности портфеля.
Портфель с n ценными бумагами определяется весами его портфеля, ( w_1, w_2, ldots, w_n ), которые в сумме составляют 1. Таким образом, доходность портфеля, ( R_p ), равна ( R_p = w_1R_1 w_2R_2 ldots w_nR_n ).
Теперь мы можем сформулировать следующий принцип:
Стратегия распределения активов (asset allocation) — часть 2
Предыдущие части: часть 1
1.2 Корреляция активов
Основой для включения активов в инвестиционный портфель является то, как активы сочетаются друг с другом, какова их взаимосвязь между собой. Эффект от распределения активов достигается в том случае, если стоимости активов в портфеле в одно и тоже время ведут себя по-разному, т.е. имеют минимальную взаимосвязь.
Для оценки того, в какой степени активы взаимосвязаны между собой используется показатель корреляции. Корреляция отражает то, как изменяется стоимость или доходность одного актива в соответствии с изменением стоимости или доходности другого. Степень соответствия этих изменений измеряется коэффициентом корреляции. Коэффициент корреляции имеет значения от -1 до 1.
Если коэффициент корреляции для двух активов больше 0, корреляция между ними считается положительной. Это означает, что стоимость (доходность) активов при одних и тех же условиях изменяется в одном направлении. Т.е. когда растет стоимость одного актива, растет и стоимость другого. И, наоборот, когда падает стоимость первого актива, падает и стоимость второго.
При этом чем ближе значение коэффициента корреляции к 1, тем в большей степени стоимости (доходности) двух активов взаимосвязаны и изменяются идентично друг другу.
Если два актива имеют положительную корреляцию, но далекую от 1 (к примеру, 0,22), это говорит о слабой положительной корреляции между активами. Это означает, что изменение стоимости (доходности) одного актива происходит одновременно с изменением стоимости (доходности) другого актива в том же направлении, но в гораздо меньшей степени (к примеру, сильный рост стоимости одного актива и слабый рост стоимости другого).
Если два актива имеют корреляцию близкую к 1 (к примеру, 0,91), это говорит о сильной положительной корреляции между активами. Это означает, что два актива достаточно связаны между собой и изменяются в одинаковом направлении в схожей степени.
При коэффициенте корреляции 1 изменение стоимости (доходности) одного актива приведет к идентичному изменению стоимости (доходности) другого актива в том же направлении.
Если коэффициент корреляции для двух активов меньше 0, корреляция между ними считается отрицательной. Это означает, что стоимость (доходность) двух активов при одних и тех же условиях изменяется в разном направлении. Т.е. когда растет стоимость одного актива, стоимость другого актива падает. И, наоборот, когда падает стоимость первого актива, растет стоимость второго.
При этом чем ближе значение коэффициента корреляции к -1, тем в большей степени стоимости (доходности) двух активов изменяются идентично друг другу, но в противоположном направлении.
Если два актива имеют отрицательную корреляцию, но далекую от -1 (к примеру, -0,27), это говорит о слабой отрицательной корреляции между активами. Это означает, что изменение стоимости (доходности) одного актива происходит одновременно с изменением стоимости (доходности) другого актива в противоположном направлении, но в гораздо меньшей степени (к примеру, сильный рост стоимости одного актива и слабое падение стоимости другого актива).
Если два актива имеют корреляцию близкую к -1 (к примеру, -0,95), это говорит о сильной отрицательной корреляции между активами. Это означает, что стоимость (доходность) двух активов изменяется в противоположных направлениях практически в одинаковой степени.
При коэффициенте корреляции -1 изменение стоимости (доходности) одного актива происходит одновременно с идентичным изменением стоимости (доходности) другого актива в противоположном направлении.
Если коэффициент корреляции расположен очень близко или равен 0, значит два актива не связаны друг с другом. Другими словами, по изменению стоимости (доходности) одного актива нельзя предсказать изменение стоимости (доходности) другого.
Нужно помнить, что коэффициент корреляции между активами не является постоянной величиной и может изменяться с течением времени.
Задача инвестора при составлении портфеля – найти активы, изменение стоимости которых очень слабо связаны между собой. К сожалению, в реальном мире фактически невозможно найти даже два актива, которые на длительном промежутке времени имели бы сильную отрицательную корреляцию. Лучшее, что можно найти – это активы, имеющую слабую отрицательную корреляцию, не имеющие корреляции между собой или имеющие слабую положительную корреляцию.
При формировании портфеля инвестору необходимо понимать, насколько ему подходит тот или иной портфель, составляемый из разных сочетаний слабо коррелированных активов. Для оценки того, соответствует ли будущий портфель целям и темпераменту инвестора, а также, что принесет включение в портфель того или иного актива, в стратегии Распределения активов используются два основных показателя – доходность и риск.
1.3 Показатели доходности и риска 
Доходность
Под доходностью актива обычно подразумевается значение его среднегодовой доходности.
Среднегодовая доходность актива рассчитывается как среднее геометрическое значение показателей его годовых доходностей за определенное количество лет. Формула для расчета среднегодовой доходности:
Чем большее количество лет будет использовано при расчете среднего геометрического значения, тем лучше. В этом случае среднегодовая доходность актива будет учитывать как можно больше периодов с различными экономическими и финансовыми условиями, на которые стоимость актива реагировала по-разному.
Среднегодовую доходность можно рассчитать также следующим образом – значение стоимости актива на конец последнего года рассматриваемого периода делится на значение стоимости актива на начало первого года, затем из полученного значения извлекается корень в степени, равной количеству лет в рассматриваемом периоде:
Риск
Помимо доходности, не менее важным при использовании стратегии Распределения активов является показатель риска.
В экономической теории существуют различные определения понятия риск. В стратегии Распределения активов под риском того или иного актива понимается его рыночный риск, т.е. риск снижения стоимости актива под влиянием различных факторов.
Для оценки уровня рыночного риска актива используется показатель волатильности. Волатильность оценивает, насколько изменчивой является стоимость (доходность) актива. Чем в большем диапазоне изменяется стоимость (доходность) актива, тем более рискованным он является. При инвестировании в активы с высокой волатильностью риск убытков для инвестора будет выше, т.к. стоимость таких активов может значительно снижаться.
Рассмотрим простой пример. Предположим, что стоимость одного актива по итогам первого года выросла на 1%, а по итогам второго – упала на 2%. Диапазон изменения стоимости, т.е. волатильность, такого актива не очень большая. В свою очередь, стоимость другого актива по итогам первого года выросла на 20%, а по итогам второго – упала на 15%. Диапазон изменения стоимости, т.е. волатильность, этого актива велика. Соответственно, риск потери денежных средств при инвестировании во второй актив будет выше, чем при инвестировании в первый.
Для сравнения риска разных активов и инвестиционных инструментов их волатильность рассчитывают математически. В стратегии Распределения активов волатильность рассчитывается как среднеквадратичное или стандартное отклонение. Среднеквадратичное отклонение (СКО) показывает, насколько широко разбросаны значения стоимости (доходности) актива от их среднего арифметического значения.
Среднеквадратичное отклонение значений стоимости или доходности актива вычисляется следующим образом — разность между значением стоимости (доходности) актива за каждый отдельный год и средним арифметическим значением за все годы возводится в квадрат, полученные значения суммируются, сумма делится на количество лет, из полученного значения затем извлекается квадратный корень. Формула для расчета среднеквадратичного отклонения представлена ниже:
Низкое значение СКО показывает, что все значения стоимости (доходности) актива очень близки к среднему значению, а диапазон изменения значений мал. В свою очередь, высокое СКО означает, что значения стоимости (доходности) актива изменяются в большом диапазоне. Другими словами, чем больше СКО, тем более высокий риск имеет актив.
Среднеквадратичное отклонение, конечно, не является абсолютно точным измерителем риска. Некоторые критикуют такой способ оценки риска. Тем не менее, он является достаточно простым в расчетах. Для индивидуального инвестора среднеквадратичного отклонения достаточно, чтобы приблизительно оценить степень риска при инвестировании в тот или иной актив, или определить степень риска всего портфеля в целом.
Обычно, чем более высокий риск имеет актив, тем потенциально большую доходность он может принести (хотя в реальности это правило подтверждается не всегда). Но нужно помнить, что активов с нулевыми рисками не бывает. Любой актив несет для инвестора опасность потери вложенных в него денежных средств. Просто величина этой опасности у разных активов будет отличаться.
1.4 Выбор классов активов в свой портфель и определение их соотношения
В соответствии со стратегией Распределения активов в инвестиционный портфель подбираются не отдельные акции, облигации, фонды недвижимости, а классы активов, включающие большое количество акций, облигаций, фондов недвижимости и т.п.
При этом внутри каждого класса может происходить деление на отдельные подклассы или группы активов, которые, соответственно, также включают в себя большое количество акций, облигаций, фондов недвижимости и т.п.
Таким образом, портфель сначала делится на классы (подклассы, группы) активов, а затем внутри них разделяется на большое количество отдельных ценных бумаг и др. активов.
Подобное составление портфеля позволяет избежать серьезных потерь, к примеру, в случае проблем какой-либо отдельно взятой компании, акции которой включены в портфель. Если акции одной компании обесценятся, это слабо отразится на портфеле в целом, т.к. он состоит из большого количества акций разных компаний, отраслей и, возможно, стран.
Одна из главных целей при инвестировании по стратегии Распределения активов — это подобрать такие классы (подклассы, группы) активов в портфель, которые будут иметь слабую корреляцию между собой. Другими словами, которые будут по-разному реагировать на одну и ту же экономическую и финансовую ситуацию.
Нет никакой выгоды от включения в портфель групп активов, которые имеют стабильно высокие положительные корреляции с другими группами активов в портфеле. В свою очередь, сочетание слабо коррелированных групп активов позволит получить так называемый портфельный эффект – совокупный риск портфеля окажется ниже риска отдельных групп активов, входящих в этот портфель; плюс ко всему, совокупная доходность портфеля в определенных случаях может быть выше доходности отдельных групп активов из портфеля.
Для получения такого эффекта, помимо низкой корреляции между группами активов, необходимо, чтобы каждая группа активов в долгосрочной перспективе имела ожидаемую положительную доходность. Активы, которые имеют низкую корреляцию с другими активами, но отрицательную долгосрочную доходность, не следует включать в свой портфель. При этом ожидаемая долгосрочная доходность всего портфеля в целом должна быть выше уровня инфляции. Кроме того, для получения портфельного эффекта необходима регулярная ребалансировка портфеля (подробнее о ребелансировке чуть ниже).
Распределение активов позволяет уменьшить, но не устранить риск полностью. Могут встречаться периоды времени, когда диверсифицированный инвестиционный портфель будет показывать отрицательную доходность. Величина возможного снижения доходности портфеля зависит от того уровня риска, который в него заложен. При этом уровень риска портфеля должен быть комфортным для инвестора. Кто-то готов спокойно переносить снижение в 5%, а при 10% уже начнет нервничать. Кто-то не паникует и при 20% снижении. Все люди разные. Поэтому какого-то универсального портфеля не существует. У каждого инвестора должен быть свой собственный уникальный портфель. Ведь помимо разного темперамента и готовности нести разную степень риска, у каждого человека свои собственные долгосрочные цели, ситуация в жизни, уровень доходов и расходов и т. п. Именно исходя из этих и ряда других параметров должен составляться индивидуальный инвестиционный портфель.
При составлении портфеля изучается корреляция между отдельными классами (подклассами, группами) активов, а также исторические показатели риска и доходности отдельных классов (подклассов, групп) активов и их сочетаний, образующих различные портфели. В качестве основы для расчетов можно использовать всевозможные фондовые индексы, которые будут отражать соответствующие группы активов. На основании подобных расчетов принимается решение о включении тех или иных групп активов в состав портфеля и о величине их доли в портфеле.
В итоге полученный портфель должен отражать разумный баланс между уровнем доходности, которая необходима для достижения целей инвестора, и уровнем риска, который будет комфортен для инвестора.
Как только состав портфеля в разрезе классов (подклассов, групп) активов определен, можно приступать к подбору конкретных инвестиционных инструментов для отражения в портфеле выбранных классов (подклассов, групп) активов.
2. Подбор инвестиционных инструментов в портфель 
В рамках применения стратегии Распределения активов инвестору необходимы инвестиционные инструменты, которые в достаточной мере будут отражать необходимый класс (подкласс, группу) активов.
Кроме того, следует помнить об одном из главных врагов для инвестора — затратах при инвестировании. Их величина должна оставаться низкой. В противном случае, денежные средства, которые могли бы остаться у инвестора, будут уходить в пользу различных финансовых посредников. Для этого необходимо подбирать в свой портфель те инструменты, инвестирование в которые потребует минимальных затрат.
Такими недорогими инвестиционными инструментами, с помощью которых можно составить широко диверсифицированный портфель из различных групп активов разных стран, в первую очередь, являются Пифы, ETF и зарубежные взаимные фонды.
Необходимо очень осторожно подходить к подбору инвестиционных инструментов в свой портфель. Так, между ETF существуют различия в уровне охвата, способе отражения той или иной группы активов, в величине комиссий за управление и др. Важно не запутаться в многообразии доступных инструментов. Поэтому следует подробно изучать, к примеру, какой класс (подкласс, группу) активов отражает биржевой фонд или другой биржевой продукт, настолько точно воспроизводится доходность базового индекса, какой способ повторения индекса используется, какова стоимость чистых активов фонда, насколько велики комиссии за управление и др. И только после такого подробного анализа принимать решение о включении в свой портфель того или иного инвестиционного инструмента.
3. Регулярная ребалансировка портфеля
Еще одним важным моментом в стратегии Распределения активов является регулярная ребалансировка портфеля.
Ребалансировка подразумевает восстановление в портфеле первоначально выбранного соотношения классов (подклассов, групп) активов. Это означает, что по истечении определенного времени после того, как был сформирован портфель, необходимо будет частично продать те группы активов, стоимость которых превысила первоначально установленную в портфеле долю, и дополнительно приобрести те группы активов, стоимость которых оказалась ниже первоначально установленной в портфеле доли. В результате такой операции доля каждой группы активов снова должна стать равна первоначальному значению. При этом осуществлять такую ребалансировку нужно на регулярной основе.
Рассмотрим упрощенный пример. Допустим, портфель состоит из 50% акций и 50% облигаций. По истечении года доля акций в портфеле стала 60%, а доля облигаций уменьшилась до 40%. При ребалансировке необходимо восстановить первоначальное соотношение акций и облигаций – 50% на 50%. Для этого необходимо продать 10% текущей стоимости акций и купить на вырученные денежные средства дополнительно 10% облигаций. В результате текущее соотношение акций и облигаций в портфеле станет равно первоначальному.
Кроме того, подобную ребалансировку необходимо проводить и внутри классов активов, если в рамках портфеля они разделены на более мелкие подклассы (группы). К примеру, класс облигаций (50% первоначального портфеля из примера выше) состоит из двух подклассов – правительственные и корпоративные облигации. При этом правительственные облигации имеют долю 30% от общей стоимости класса облигаций, а корпоративные облигации – 70%. В случае, если через год их соотношение изменилось (к примеру, доля правительственных облигаций увеличилась до 40% от общей стоимости класса облигаций, а доля корпоративных упала до 60%), внутри класса облигаций необходимо также произвести ребалансировку. Т.е. продать 10% правительственных облигаций и приобрести на эти денежные средства корпоративные облигации. И так необходимо делать с каждым из классов активов в портфеле.
Нужно учитывать, что при ребалансировке инвестор будет нести определенные расходы. Например, при покупке/продаже паев ETF, отражающих ту или иную группу активов, в большинстве случаев придется платить брокерскую комиссию за осуществление сделки. Кроме того, при продаже паев ETF, выросших в стоимости, возникает прибыль, на которую необходимо будет уплатить налог.
Поэтому во избежание подобных расходов ребалансировку можно проводить при внесении новых денежных средств в портфель или при выводе части денежных средств из портфеля. При осуществлении этих операций можно приобрести, либо продать соответствующую долю активов, чтобы снова прийти к их первоначальному соотношению.
При внесении новых или выводе части ранее инвестированных денежных средств расходы на покупку/продажу ETF (а также, возможно, налог на прибыль при выводе денежных средств) будут в любом случае. Ребалансировка в таких ситуациях не принесет инвестору дополнительных затрат.
Что же дает ребалансировка активов? Во-первых, потенциально более высокую доходность портфеля. В основе ребалансировки заложена простая логика — продавать по высокой цене и покупать по низкой. Инвестор перекладывает часть денежных средств в упавшие в стоимости активы, рассчитывая на их рост и более высокую доходность в сравнении с теми активами, которые уже выросли в стоимости. При этом выросшие в стоимости активы при такой операции, соответственно, продаются по более высокой цене, чем у них была изначально. Во-вторых, ребалансировка позволяет контролировать риск портфеля, приводя его в соответствие с первоначально выбранным уровнем. К примеру, портфель из 60% акций и 40% облигаций имеет один уровень риска. При росте стоимости акций и изменении соотношения активов в портфеле до 70% акций и 30% облигаций, риск портфеля становится выше первоначального уровня. Акции в этом случае будут играть в портфеле более заметную роль, и падение их стоимости окажет на него более сильный эффект, чем при соотношении 60% на 40%. Поэтому, чтобы инвестору не нести риск выше, чем предполагался изначально, необходимо осуществить ребалансировку портфеля.
Существуют различные методы ребалансировки. Наиболее популярные из них – это календарный и процентный (или динамический) методы. В первом методе устанавливается конкретный период или дата ребалансировки – месяц, квартал, год. Во втором – устанавливается величина процента, при отклонении на который доли какого-либо актива в сравнении с первоначально его долей, происходит ребалансировка. При этом она производится вне зависимости от того, насколько давно была предыдущая ребалансировка.
Однако проблема процентного метода в том, что заранее невозможно точно определить размер процента, по достижении которого наиболее эффективно проводить ребалансировку. Это хорошо можно рассчитать по итогам прошедших периодов, но предсказать это на будущее нереально. Кроме того, процентный метод требует от инвестора необходимости больше следить за состоянием рынка и портфеля.
Наиболее же простым для применения является первый метод – календарный. При этом стандартным сроком для разбалансировки является 1 год. Ежегодной ребалансировки будет вполне достаточно, чтобы получить эффект от осуществления этой операции.
Подводя итог всему вышесказанному, следует отметить, что суть построения портфеля по стратегии Распределения активов заключается в подборе в портфель широко диверсифицированных классов активов, слабо коррелированных между собой, имеющих прогнозируемую положительную долгосрочную доходность, в сочетании с регулярной ребалансировкой соотношения классов активов в портфеле.
К каким результатам приводит использование такой инвестиционной стратегии на практике, а также примеры некоторых портфелей, будут рассмотрены в следующей части.
Следующая часть
Чтение коэффициентов корреляции
После ввода в Excel формулы, вы увидите цифры от -1 до 1. Чем ближе к 1, тем теснее связь между активами, т.е. графики движутся синхронно. Отрицательные значения показывают обратную связь, т.е. если один инструмент снижается в цене, другой – растёт. Тесной считается корреляция от 0.
8 до 1 (или от -0.8 до -1). Распределение капитала между несколькими инвестиционными активами, которые коррелируют с коэффициентом больше 0.8, нельзя считать диверсификацией. Фактически, такое распределение не менее рискованно, чем вложение всех денег в один инвестиционный актив.
Для целей диверсификации следует выбирать активы, связь между которыми меньше 0.6. На практике найти их не так просто – чем шире диверсификация, тем сложнее найти инвестиционный инструмент, который не коррелирует со всеми остальными. Большая ошибка – сравнивать только 2 актива и на этом основании заносить их в портфель.
