CFA — Ожидаемое значение, дисперсия и стандартное отклонение случайной величины | программа CFA | fin-accounting

Дисперсия и стандартное отклонение

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии (S = √D). То есть, если у вас уже есть стандартное отклонение и нужно рассчитать дисперсию, нужно лишь возвести стандартное отклонение в квадрат (S² = D).

Дисперсия — в статистике это «среднее квадратов отклонений от среднего». Чтобы её вычислить нужно:

1. Вычесть среднее значение из каждого числа
2. Возвести каждый результат в квадрат (так получатся квадраты разностей)
3. Найти среднее значение квадратов разностей.

Ещё расчёт дисперсии можно сделать по этой формуле:

Интерпретация

Коэффициент вариации является относительной мерой риска, в отличие от дисперсии и среднеквадратического отклонения, поэтому позволяет сопоставлять риск и доходность двух и более активов, которые могут существенно отличаться. Другими словами, этот показатель увязывает среднеквадратическое отклонение с ожидаемой доходностью актива, что дает возможность оценить соотношение риск/доходность в относительном выражении, что позволяет обеспечить сопоставимость полученных результатов.

Следует отметить, что когда ожидаемая доходность ценной бумаги близка к 0, то значение коэффициента вариации может быть очень большим. Поэтому незначительное изменение ожидаемой доходности ценной бумаге может приводить к значительному изменению этого показателя, что необходимо учитывать при обосновании инвестиционных решений.

Использование и интерпретация величины среднеквадратического отклонения

Стандартное отклонение используется:

• в финансах в качестве меры волатильности,
• в социологии в опросах общественного мнения — оно помогает в расчёте погрешности.

Пример:

Рассмотрим два малых предприятия, у нас есть данные о запасе какого-то товара на их складах.

В обеих компаниях среднее количество товара составляет 20 единиц:

• А -> (19 21 19 21) / 4 = 20
• Б -> (15 26 15 24) / 4 = 20

Однако, глядя на цифры, можно заметить:

• в компании A количество товара всех четырёх дней очень близко находится к этому среднему значению 20 (колеблется лишь между 19 ед. и 21 ед.),
• в компании Б существует большая разница со средним количеством товара (колеблется между 15 ед. и 26 ед.).

Если рассчитать стандартное отклонение каждой компании, оно покажет, что

• стандартное отклонение компании A = 1,
• стандартное отклонение компании Б ≈ 5.

Стандартное отклонение показывает эту волатильность данных — то, с каким размахом они меняются; т.е. как сильно этот запас товара на складах компаний колеблется (поднимается и опускается).

Как эти события влияют на доход владельца облигации?

Вторым шагом является вычисление стоимости облигации для двух событий. У нас нет конкретных данных по номинальной стоимости облигации, но мы можем рассчитать стоимость за $1 или на одну вложенную денежную единицу.

Третий шаг — найти ожидаемую стоимость облигации (на 1 вложенный $).

E(Облигация) = $0 (times) P(Дефолт облигации) $(1 (R)) [1 — P(Дефолт облигации не произошел)]

Таким образом,

E(Облигация) = $(1 (R)) [1 — P(Дефолт облигации)].

Ожидаемая стоимость безрискового казначейский вексель (Т-bill) на 1 вложенный $ составляет ( (1 R_F) ).

Следующий шаг требует экономических суждений.

Вы хотите, чтобы премия за риск была достаточно большой, поэтому вы ожидаете, по крайней мере, безубыточности по сравнению с инвестированием в T-bill. Этот результат будет достигнут, если ожидаемая стоимость облигации будет равна ожидаемой стоимости Т-bill за 1 вложенный $.

Рассчитывая доход к погашению по облигации, вы найдете:

 (R) = {(1  (R_F))/[1 — P(Дефолт облигации)]} — 1

Подставляя в значения формулу, вы получите:

 (R) = [1.02/(1 — 0.06)] — 1 = 1.08511 — 1 = 0.08511

или около 8.51%, а премия за риск дефолта составит

 (R — R_F) = 8.51% — 2% = 6.51%.

Вам необходима премия за риск дефолта не менее 651 базисных пунктов. Вы можете заявить об этом следующим образом: если цена облигации составляет 8.51%, вы получите спред в 651 базисный пункт, а также получите номинальную сумму облигации с вероятностью 94%.

Однако, если произойдет дефолт, вы потеряете все. С премией в 651 базисный пункт, вы рассчитываете точку безубыточности относительно инвестиций в казначейские векселя. Поскольку инвестиции в облигации с нулевым купоном имеют переменную стоимость, если вы не склонны к риску, вы будете требовать, чтобы премия превышала 651 базисный пункт.

Этот анализ является отправной точкой. Владельцы облигаций обычно возмещают часть своих инвестиций в случае дефолта. Следующим шагом будет включение в анализ уровня возмещения средств в случае дефолта.

Коэффициент вариации

Коэффициент вариации — отношение стандартного отклонения к среднему значению, т.е. Cv = (S/μ) × 100% или V = (σ/X̅) × 100%.

Стандартное отклонение делится на среднее и умножается на 100%.

Можно классифицировать вариабельность выборки по коэффициенту вариации:

• при <10% выборка слабо вариабельна,
• при 10% – 20 % — средне вариабельна,
• при >20 % — выборка сильно вариабельна.

Узнайте также про:

Определение дисперсии случайной величины.

Дисперсия случайной величины (англ. ‘variance of random variable’) — это ожидаемое значение (средневзвешенное по вероятности) квадратов отклонений от ожидаемого значения случайной величины:

( large dstsigma^2(X) = E Big { big [ X — E(X) big ]^2 Big } )(Формула 8)

Для дисперсии случайной величины используются два обозначения:  

( sigma^2(X) ) и ( mathrm{Var}(X) )

• Дисперсия — это число, которое больше или равно 0, потому что это сумма квадратов.
• Если дисперсия равна 0, дисперсия или риск отсутствуют.
• Результат определенный, а величина (X) вовсе не случайна.
• Дисперсия случайной величины больше 0 указывает на дисперсию (т.е. разброс) результатов.
• Увеличение дисперсии случайной величины указывает на увеличение разброса результатов.

Дисперсия (X) — это величина, выраженная в квадратах единиц (X). Например, если случайная величина является процентной доходностью, дисперсия доходности выражается в процентах, возведенных в квадрат.

Стандартное отклонение случайной величины легче интерпретировать, чем дисперсию, поскольку оно выражено в тех же единицах, что и случайная величина. Если случайная величина выражена в процентах, то стандартное отклонение также будет выражено в процентах.

Обратите внимание, что в следующем примере там, где дисперсия доходности указывается в виде десятичной дроби, усложнения работы с «процентами в квадрате» не возникает.

Определение ожидаемого значения.

Ожидаемое значение случайной величины (или математическое ожидание, от англ. ‘expected value’) является средневзвешенной вероятностью возможных результатов случайной величины.

Для случайной величины (X) математическое ожидание (X) обозначается как (E(X)).

Ожидаемое значение (например, ожидаемая доходность акций) представляет собой либо будущее значение, например прогноз, либо «истинное» значение среднего (например, среднее значение для генеральной совокупности, которое обсуждается в чтении о статистических концепциях и доходности рынка). Следует различать ожидаемое значение и понятия исторического или выборочного среднего.

Выборочное среднее также суммирует в единственном числе центральное значение выборки. Тем не менее, выборочное среднее представляет собой центральное значение для определенного набора наблюдений в виде равно взвешенного среднего значения этих наблюдений.

Определение стандартного отклонения случайной величины.

Стандартное отклонение случайной величины (англ. ‘standard deviation of random variable’) — это положительный квадратный корень дисперсии случайной величины.

Лучший способ познакомиться с этими понятиями — это поработать с ними на примерах.

Правило общей вероятности для ожидаемого значения.

( large E(X) = E(X|S)P(S) E(X|S^C)P(S^C) )(Формула 11)

Формула 12, гласит, что ожидаемое значение (X) равно ожидаемому значению (X) для данного сценария 1, ( E(X|S_1) ), умноженному на вероятность сценария 1, ( P(S_1) ) плюс ожидаемое значение (X) для данного сценария 2, ( E(X|S_2) ), умноженное на вероятность сценария 2, ( P(S_2) )и т.д.

Чтобы использовать этот принцип, мы формулируем взаимоисключающие и исчерпывающие сценарии, которые полезны для понимания результатов случайной величины. Этот подход был использован при разработке распределения вероятностей EPS в BankCorp в Примерах 8 и 9, которое мы сейчас обсудим.

Доходы BankCorp чувствительны к процентным ставкам, и корпорация получает выгоду в условиях снижения процентных ставок.

Предположим, есть вероятность 0.60, что BankCorp будет работать в условиях снижения процентных ставок в текущем финансовом году, и вероятность 0.40, что она будет работать в условиях стабильных процентных ставок (вероятность повышения процентных ставок оценивается как незначительная).

Если происходит снижение процентных ставок, вероятность того, что EPS составит $2.60, оценивается в 0.25, а вероятность того, что EPS составит $2.45, оценивается в 0.75.

Обратите внимание, что 0.60, вероятность снижения процентных ставок, умноженная на 0.25, вероятность EPS в $2.60 при условии снижения процентной ставки равна 0.15, (безусловная) вероятность $2.60 приведена в таблице в Примерах 8 и 9. Вероятности последовательны.

Кроме того, 0.60(0.75) = 0.45, вероятность прибыли на акцию в размере $2.45 приведена в Таблицах 3 и 4.

Древовидная диаграмма на Рисунке 2 показывает остальную часть анализа.

Рисунок 2. Анализ прогнозируемой прибыли на акцию (EPS) BankCorp.

Сценарий снижения процентных ставок указывает нам на узел дерева, который разветвляется до результатов в $2.60 и $2.45. Мы можем найти ожидаемую прибыль на акцию при условии снижения процентной ставки, используя Формулу 10, следующим образом:

E (EPS | Снижение процентных ставок) == 0.25($2.60) 0.75($2.45) = $2.4875

Если процентные ставки стабильны,

E(EPS | Стабильные процентные ставки) == 0.60($2.20) 0.40($2.00) = $2.12

Например, как только мы получаем новую информацию о том, что процентные ставки стабильны, мы пересматриваем наши первоначальные ожидания EPS с $2.34 вниз до $2.12.

Теперь, используя правило общей вероятности для ожидаемого значения, находим:

E(EPS) = E(EPS | Снижение процентных ставок) P(Снижение процентных ставок) E(EPS | Стабильные процентные ставки) P(Стабильные процентные ставки)

Таким образом,

( E(EPS) = $2.4875(0.60) $2.12(0.40) = $2.3405 )

или около $2.34.

Эта сумма идентична оценке ожидаемого значения EPS, рассчитанной непосредственно из распределения вероятностей в Примере 8. Так же, как и наши вероятности, ожидаемые значения должны быть согласующимися; в противном случае наши инвестиционные действия могут создать возможности получения прибыли для других инвесторов за наш счет.

Правило трёх сигм

Это правило гласит: вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания более чем на три стандартных отклонения (на три сигмы), почти равна нулю.

Глядя на рисунок нормального распределения случайной величины, можно понять, что в пределах:

• одного среднеквадратического отклонения заключаются 68,26% значений (Xср ± 1σ или μ ± 1σ),
• двух стандартных отклонений — 95,44% (Xср ± 2σ или μ ± 2σ),
• трёх стандартных отклонений — 99,72% (Xср ± 3σ или μ ± 3σ).

Это означает, что за пределами остаются лишь 0,28% — это вероятность того, что случайная величина примет значение, которое отклоняется от среднего более чем на 3 сигмы.

Пример (10) анализа прибыли на акцию bankcorp.

Продолжая анализ показателей BankCorp, вы сосредоточитесь сейчас на структуре затрат BankCorp. Модель операционных расходов BankCorp, которую вы исследуете, это:

( hat{Y} ) представляет собой ожидаемое значение (Y) при условии (X) или (E (Y|X)).

(( hat{Y} )  — это обозначение, используемое в регрессионном анализе, который мы обсудим в следующих чтениях.)

Вы интерпретируете значение (a) как постоянные затраты, а (b) — как переменные затраты. Уравнение будет выглядеть следующим образом:

(  hat{Y} = 12.5 0.65X  )

BankCorp в настоящее время имеет 66 филиалов, и, согласно уравнению:

12.5 0.65(66) = $55.4 млн.

У вас есть два сценария роста, изображенные на древовидной диаграмме на Рисунке 3.

Рисунок 3. Прогнозируемые операционные расходы BankCorp.

1. Рассчитайте прогнозируемые операционные расходы с учетом различных уровней операционных расходов, используя уравнение (  hat{Y} = 12.5 0.65X  ). Укажите вероятность каждого уровня из числа филиалов (см. вопросительные знак в крайних правых полях древовидной диаграммы).
2. Рассчитайте ожидаемую стоимость операционных расходов в сценарии с высокими темпами роста. Также рассчитайте ожидаемую стоимость операционных расходов по сценарию низкого роста.
3. Ответьте на вопрос в начальном поле дерева: каковы ожидаемые операционные расходы BankCorp?

Пример (11) расчета премии за риск дефолта для долгового инструмента за один период.

Как соуправляющий портфеля краткосрочных облигаций, вы пересматриваете цену спекулятивной (дисконтной) облигации с нулевым купоном и сроком обращения 1 год. Для этого типа облигаций доход представляет собой разницу между уплаченной суммой и номинальной стоимостью, полученной при погашении.

Ваша цель — оценить соответствующую премию за риск дефолта для этой облигации. Вы определяете премию за риск дефолта как дополнительную доходность сверх безрисковой доходности, которая будет компенсировать инвесторам риск дефолта.

Если (R) — это обещанная доходность (доходность к погашению) по долговому инструменту, а (R_F) — безрисковая ставка, то премия за риск дефолта — это (R — R_F).

Пример (8) анализа прибыли на акцию bankcorp.

Вы продолжаете свой анализ прибыли на акцию (EPS) BankCorp. В Таблице (3) вы представили распределение вероятностей для EPS BankCorp за текущий финансовый год.

Каково ожидаемое значение EPS BankCorp на текущий финансовый год?

Следуя определению математического ожидания, перечислите каждый результат, взвесьте его по вероятности и суммируйте взвешенные результаты.

( begin{aligned}E(EPS) &= 0.15($2.60) 0.45($2.45) 0.24($2.20) 0.16($2.00) \&= $2.3405end{aligned} )

Ожидаемое значение EPS составляет $2.34.

Пример (9) расчета дисперсии и стандартного отклонения для eps bankcorp.

В Примере (8) вы рассчитали ожидаемое значение прибыли на акцию (EPS) BankCorp как $2.34, что является вашим прогнозом.

Теперь вы хотите измерить разброс вокруг вашего прогноза. В Таблице 4 показано ваше представление о вероятности распределения прибыли на акцию за текущий финансовый год.

Каковы дисперсия и стандартное отклонение EPS BankCorp для текущего финансового года?

Пример 1 (с σ)

Рассмотрим данные о запасе какого-то товара на складах Предприятия Б.

Если значений выборки немного (небольшое n, здесь он равен 4) и анализируются все значения, то применяется эта формула:

Применяем эти шаги:

1. Найти среднее арифметическое выборки:

μ = (15 26 15 24) / 4 = 20

2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:

x1 — μ = 15 — 20 = -5

x2 — μ = 26 — 20 = 6

x3 — μ = 15 — 20 = -5

x4 — μ = 24 — 20 = 4

3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:

(x1 — μ)² = (-5)² = 25

(x2 — μ)² = 6² = 36

(x3 — μ)² = (-5)² = 25

(x4 — μ)² = 4² = 16

4. Сделать сумму полученных значений:

Σ (xi — μ)² = 25 36 25 16 = 102

5. Поделить на размер выборки (т.е. на n):

(Σ (xi — μ)²)/n = 102 / 4 = 25,5

6. Найти квадратный корень:

√((Σ (xi — μ)²)/n) = √ 25,5 ≈ 5,0498

Пример 2 (с s)

Задача усложняется, когда существуют сотни, тысячи или даже миллионы данных. В этом случае берётся только часть этих данных и анализируется методом выборки.

У Андрея 20 яблонь, но он посчитал яблоки только на 6 из них.

Популяция — это все 20 яблонь, а выборка — 6 яблонь, это деревья, которые Андрей посчитал.

Так как мы используем только выборку в качестве оценки всей популяции, то нужно применить эту формулу:

Математически она отличается от предыдущей формулы только тем, что от n нужно будет вычесть 1. Формально нужно будет также вместо μ (среднее арифметическое) написать X ср.

Применяем практически те же шаги:

1. Найти среднее арифметическое выборки:

Xср = (9 2 5 4 12 7) / 6 = 39 / 6 = 6,5

2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:

X1 – Xср = 9 – 6,5 = 2,5

X2 – Xср = 2 – 6,5 = –4,5

X3 – Xср = 5 – 6,5 = –1,5

X4 – Xср = 4 – 6,5 = –2,5

X5 – Xср = 12 – 6,5 = 5,5

X6 – Xср = 7 – 6,5 = 0,5

3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:

(X1 – Xср)² = (2,5)² = 6,25

(X2 – Xср)² = (–4,5)² = 20,25

(X3 – Xср)² = (–1,5)² = 2,25

(X4 – Xср)² = (–2,5)² = 6,25

(X5 – Xср)² = 5,5² = 30,25

(X6 – Xср)² = 0,5² = 0,25

4. Сделать сумму полученных значений:

Σ (Xi – Xср)² = 6,25 20,25 2,25 6,25 30,25 0,25 = 65,5

5. Поделить на размер выборки, вычитав перед этим 1 (т.е. на n–1):

(Σ (Xi – Xср)²)/(n-1) = 65,5 / (6 – 1) = 13,1

6. Найти квадратный корень:

S = √((Σ (Xi – Xср)²)/(n–1)) = √ 13,1 ≈ 3,6193

Пример расчета

Финансовый аналитик должен обосновать включение в портфель дополнительной ценной бумаги, выбрав из двух ценных бумаг, историческая доходность которых за последние пять лет представлена в таблице.

Ожидаемая доходность акций Компании А составит 13,646%, а Компании Б 15,608%.

_А

= (14,75 7,23 15,66 18,45 12,14)/5 = 13,646%

_Б

= (20,33 10,85 5,22 22,41 19,23)/5 = 15,608%

При этом среднеквадратическое отклонение доходности для акций Компании А составляет 4,236%, а акций Компании Б 7,284%. (Как рассчитывается среднеквадратическое отклонение можно прочитать здесь)

В этом примере акции одновременно обладают разной ожидаемой доходностью и разным уровнем риска. При этом одна из них характеризуется более высокой ожидаемой доходностью, а другая более низким уровнем риска. Чтобы сопоставить эти ценные бумаги необходимо рассчитать коэффициент вариации доходности, который для акций Компании А будет равен 0,31, а для акций Компании Б 0,47.

Итак, ожидаемая доходность акций Компании Б превышает доходность акций Компании А в 1,144 раза (15,608/13,646), однако и риск инвестирования в них больше в 1,516 раза (0,47/0,31). Следовательно, акции Компании А являются более предпочтительными для включения в портфель, поскольку обладают лучшим соотношением риск/доходность.

Еще одним полезным показателем, применяемым при анализе рисков, является коэффициент вариации (coefficient of variation — CV), исчисляемый по формуле

В отличие от стандартного отклонения коэффициент вариации является относительным показателем и показывает степень риска на единицу среднего дохода. Чем больше коэффициент вариации, тем выше считается риск.

Обратная но отношению к CV величина может интерпретироваться как средний доход, приходящийся на единицу риска. Этот показатель и его различные модификации широко используются в оценке эффективности управления рисковыми инвестициями.

Осуществим расчет коэффициентов вариации для акций фирм «Л» и «В»:

Согласно данному показателю риск на среднюю единицу дохода по акциям фирмы «Л» почти в 17 раз выше, чем у фирмы «В». Соответственно, средние доходы на единицу риска по акциям будут равны: 15 / 65,84 = 0,227 руб. и 15 / 3,87 = 3,87 руб.

Следует отметить, что в случае одинаковых или нулевых средних значений доходности вычисление этого показателя теряет смысл. Очевидно, что при равных средних чем больше величина стандартного отклонения а, тем больше будет коэффициент вариации. Определение коэффициентов вариации особенно полезно в тех случаях, когда средняя доходность сравниваемых операций существенно различается.

Рассмотрим следующий пример.

Ожидаемая доходность по акциям фирм «X» и «У» равна 45 ± 15% и 8 ± 4% соответственно. Определить степень риска операций с данными акциями.

Согласно значениям стандартных отклонений разброс доходности по акциям фирмы «X» значительно выше, следовательно, ее акции должны быть более рисковыми. Определим коэффициенты вариации:

Полученные результаты показывают, что степень риска на среднюю единицу дохода выше у фирмы «У». Какая же операция связана с большим риском? На рис. 8.7 приведены графики плотностей распределения вероятностей для доходности по акциям обеих фирм.

Рис. 8.7.Плотности распределения вероятностей для доходности по акциям фирм «X» и « У»

На первый взгляд критерии явно противоречат друг другу, хотя интуитивно понятно, что вероятность получения нулевого либо отрицательного дохода по акциям фирмы «У» гораздо выше. Проведенный автором расчет показал, что соответствующие вероятности равны 2,3% для акций «У» и всего 0,13% для «X» (для расчета может быть использована функция НОРМРАСП () пакета MS Excel).

Воспользуемся правилом «трех сигм». Для акций фирмы «У» нулевое значение доходности попадает в диапазон (Е(У) – 2а), а отрицательное — (Е(У) – За). Тогда как по акциям фирмы «X» получение нулевой доходности возможно лишь в крайнем случае — (Е(Х) – За), а вероятность получения отрицательной доходности практически равна нулю, поскольку средняя доходность очень высока и в 3 раза превышает величину стандартного отклонения.

Приведенный пример демонстрирует преимущества применения коэффициента вариации в случаях, когда средние доходности значительно отличаются друг от друга.

Дневная доходность компаний ПАО «Роснефть» и ПАО «Лукойл», %

Определить среднюю доходность, стандартное отклонение и коэффициент вариации за указанный период. Исходя из полученных результатов, инвестиции в какую акцию были более рисковые? Обоснуйте свой вывод.

Следует отметить, что далеко не все хозяйственные операции предполагают нормальное распределение доходов. Например, распределение вероятностей получения доходов от операций с производными финансовыми инструментами (опционами, фьючерсами) часто характеризуются асимметрией (скосом) относительно среднего ожидаемого результата.

Так, опцион на покупку ценной бумаги позволяет его владельцу получить прибыль в случае положительной доходности и в то же время избежать убытков в случае отрицательной доходности [1] . По сути, опцион на покупку отсекает распределение доходности в той точке, где начинаются потери.

На рис. 8.8 приведена гистограмма распределения доходности по акциям ПАО «МегаФон» за период с 1 августа 2022 г. но 12 сентября 2022 г. с наложенным на нее графиком плотности нормального распределения вероятностей [2] .

Реальное распределение доходности на рис. 8.8 отличается от нормальной кривой. В частности, оно скошено влево, более остроконечно и вытянуто (т.е. имеет хвосты). В подобных случаях использование в процессе анализа только двух параметров (среднего и стандартного отклонения) может приводить к неверным выводам. Стандартное отклонение неадекватно характеризует риск при смещенных и вытянутых распределениях.

Например, при этом игнорируется тог факт, что большая часть изменчивости приходится на «хорошую» (правую) или наоборот на «плохую» (левую) сторону ожидаемой доходности.

Рис. 8.8.Распределение доходности по акциям ПАО «МегаФон»

Помимо среднего значения и стандартного отклонения, подобные распределения требуют знания дополнительных параметров — коэффициента асимметрии (скоса) и эксцесса.

Но стандартное отклонение может сослужить плохую службу при сравнении рисков или неопределенностей, сопровождающих различающие размером варианты инвестиций. Рассмотрим две инвестиционные возможности А и В, для которых доходность за год подчиняется нормальному распределению со следующими параметрами:

Ожидаемая доходность , R –

Стандартное отклонение,?

Коэффициент вариации, CV

Стандартное отклонение в случае В больше, чем в случае А. Следует ли из этого заключения, что инвестиция В – более рисковое вложение? Если использовать стандартное отклонение в качестве меры риска – то да. Однако, по сравнению с ожидаемым значением доходности величина её отклонения для инвестиции А больше.

Это все равно, как стандартное отклонение в $ 10 000 для годового дохода мультимиллионера значит намного меньше, чем $ 8 000 – для человека с обычными доходами. Чтобы подогнать задачу под размеры величин или масштабы, рассчитывают коэффициент вариации (CV ) (coefficient of variation ) как частное стандартного отклонения и ожидаемой доходности.

Коэффициент вариации (CV – coefficient of variation) – это отношение стандартного отклонения распределения какой-либо величины к среднему значению этого распределения. Является мерой относительного (relative) риска.

Коэффициент вариации: (CV) = ? / R (формула 20,5-5)

Таким образом, коэффициент вариации является мерой относительной дисперсии (риска), то есть величиной риска, “приходящейся на единицу ожидаемой доходности“. Чем больше CV, тем больше относительный риск инвестиции.

Похожие записи не найдены.

Разница между формулами s и σ («n» и «n–1»)

Состоит в том, что мы анализируем — всю выборку или только её часть:

• только её часть – используется формула S (с «n–1»),
• полностью все данные – используется формула σ (с «n»).

Стандартное отклонение в excel

Вычисление стандартного отклонения с «n – 1» в знаменателе (случай выборки из генеральной совокупности):

1. Занесите все данные в документ Excel.

2. Выберите поле, в котором вы хотите отобразить результат.

3. Введите в этом поле «=СТАНДОТКЛОНА(»

4. Выделите поля, где находятся данные, потом закройте скобки.

5. Нажмите Ввод (Enter).

В случае если данные представляют всю генеральную совокупность (n в знаменателе), то нужно использовать функцию СТАНДОТКЛОНПА.